Решить задачу треугольник. Точка М, лежащащая вне плоскости
Дата публикации:

Решить задачу треугольник. Точка М, лежащащая вне плоскости


Решить задачу треугольник. Точка М, лежащащая вне плоскости треугольника АВС, соединена с его вершинами. D и Е - точки пересечения медиан треугольников МАВ и МВС соответственно. а) Докажите, что АDЕС - трапеция. б) Найдите DE, если АС=12 см.

а) Для доказательства того, что АDЕС - трапеция, нужно показать, что стороны АD и ЕС параллельны.

Рассмотрим треугольник МАВ. Медиана МD делит сторону АВ пополам, поэтому МD = ДВ. Аналогично, в треугольнике МВС медиана МЕ делит сторону ВС пополам, поэтому МЕ = ЕС.

Также, по свойству медиан треугольника, точка М делит медиану МА в отношении 2:1, то есть МА:МD = 2:1. Аналогично, МВ:МЕ = 2:1.

Теперь рассмотрим треугольник АДЕ. По свойству параллельных прямых, если отношение длин отрезков на одной прямой равно, то эти отрезки параллельны. Из предыдущего пункта мы знаем, что МА:МD = 2:1, а МЕ:МВ = 2:1. Значит, АД || ЕС.

Таким образом, мы доказали, что стороны АD и ЕС параллельны, а значит, АDЕС - трапеция.

б) Для нахождения DE, воспользуемся свойством медиан треугольника.

Медиана МА делит сторону ВС пополам, поэтому МС = 6 см. Также, по свойству медиан, МС = 2/3 * МЕ. Значит, МЕ = 9 см.

Теперь рассмотрим треугольник МВС. Медиана МЕ делит сторону ВС пополам, поэтому ВС = 2 * МЕ = 18 см.

Таким образом, мы нашли, что ВС = 18 см.

Ответ: DE = ВС = 18 см.