ОЛимпиада по математике, срочно, пожалуйста. на заборе написаны
Дата публикации:

ОЛимпиада по математике, срочно, пожалуйста. на заборе написаны


ОЛимпиада по математике, срочно, пожалуйста. на заборе написаны десять утверждений: «Неверных утверждений здесь на 1 больше, чем верных», «Неверных утверждений здесь на 2 больше, чем верных», ..., «Неверных утверждений здесь на 10 больше, чем верных». Сколько на самом деле среди этих утверждений неверных?Палиндромом называется число, которое слева направо и справа налево читается одинаково. Сколько существует 100-значных чисел, в записи которых участвуют только цифры 1, 2, 3 и которые не содержат палиндромов длины более 1?

Пусть количество верных утверждений равно x. Тогда количество неверных утверждений будет равно x + 1, x + 2, ..., x + 10. Таким образом, сумма всех утверждений будет равна x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 10) = 10x + 55.

Так как количество неверных утверждений на 1 больше, чем верных, то 10x + 55 = x + 1. Решая это уравнение, получаем x = 6.

Таким образом, среди этих утверждений 6 неверных.

Чтобы посчитать количество 100-значных чисел, в записи которых участвуют только цифры 1, 2, 3 и которые не содержат палиндромов длины более 1, можно использовать принцип включения-исключения.

Всего возможных 100-значных чисел, состоящих только из цифр 1, 2, 3, будет 3^100, так как каждая цифра может быть одной из трех возможных.

Теперь посчитаем количество 100-значных чисел, содержащих палиндромы длины 2. Такие числа будут иметь вид XYXYXY..., где X и Y могут быть любыми цифрами из множества {1, 2, 3}. Таким образом, количество таких чисел будет равно 3 3 3 ... 3 (50 раз) = 3^50.

Аналогично, количество 100-значных чисел, содержащих палиндромы длины 3, будет равно 3 3 3 ... 3 (33 раза) = 3^33.

Однако, при подсчете количества чисел, содержащих палиндромы длины 2 и 3, мы учли дважды числа, содержащие палиндромы длины 6 (например, 123123). Поэтому, нужно вычесть количество 100-значных чисел, содержащих палиндромы длины 6.

Количество 100-значных чисел, содержащих палиндромы длины 6, будет равно 3 3 3 ... 3 (16 раз) = 3^16.

Таким образом, количество 100-значных чисел, в записи которых участвуют только цифры 1, 2, 3 и которые не содержат палиндромов длины более 1, будет равно 3^100 - 3^50 - 3^33 + 3^16.