Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Материальная точка
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Материальная точка с импульсом p = {3,2,-3} находится в точке A (4,-4,0). Найти момент Mp импульса точки относительно начала координат и проекцию этого момента на направление вектора M = {0,4,3}. В случае получения дробного ответа, представить его в виде десятичной дроби. Целая часть отделяется от дробной запятой.
Момент импульса точки относительно начала координат можно найти по формуле:
Mp = r x p,
где r - радиус-вектор точки A относительно начала координат.
Найдем радиус-вектор r:
r = {4, -4, 0}.
Теперь найдем векторное произведение r x p:
r x p = |i j k | |4 -4 0 | |3 2 -3 |
= (4(-3) - (-4)2)i - (4(-3) - 03)j + (42 - (-4)3)k = (-12 + 8)i - (-12)j + (8 + 12)k = -4i + 12j + 20k.
Таким образом, момент импульса точки относительно начала координат равен Mp = {-4, 12, 20}.
Теперь найдем проекцию этого момента на направление вектора M.
Для этого воспользуемся формулой проекции вектора A на вектор B:
proj_AB = (A * B) / |B|,
где A * B - скалярное произведение векторов A и B, |B| - длина вектора B.
Найдем скалярное произведение Mp и M:
Mp M = (-40) + (124) + (203) = 0 + 48 + 60 = 108.
Теперь найдем длину вектора M:
|M| = sqrt(0^2 + 4^2 + 3^2) = sqrt(0 + 16 + 9) = sqrt(25) = 5.
Теперь найдем проекцию момента импульса точки на направление вектора M:
proj_MpM = (Mp * M) / |M| = 108 / 5 = 21.6.
Таким образом, проекция момента импульса точки на направление вектора M равна 21.6. Ответ: 21.