Задача по микроекономике. Фирма на конкурентном рынке, ее
Задача по микроекономике. Фирма на конкурентном рынке, ее производственная функция: Q=4х^0,5 (х – переменный ресурс), цена товара 12 грн, цена фактора 8. Найти оптимальное количество переменного фактора, объем производства при этом и величину предельной прибыли (доходы от данного фактора) .
Для нахождения оптимального количества переменного фактора необходимо использовать условие максимизации прибыли.
Прибыль (П) определяется как разность между доходами (D) и затратами (C):
П = D - C
Доходы (D) равны произведению объема производства (Q) на цену товара (P):
D = Q * P
Затраты (C) равны произведению количества переменного фактора (x) на его цену (w):
C = x * w
Таким образом, прибыль можно записать как:
П = Q P - x w
Для нахождения оптимального количества переменного фактора необходимо найти его значение, при котором предельная прибыль равна нулю. Предельная прибыль (МП) определяется как производная прибыли по переменному фактору:
МП = dП/dx
Для нахождения МП необходимо продифференцировать прибыль по переменному фактору:
МП = d(Q P - x w)/dx
МП = d(4x^0,5 12 - x 8)/dx
МП = d(48x^0,5 - 8x)/dx
МП = 24x^(-0,5) - 8
Приравниваем МП к нулю и решаем уравнение:
24x^(-0,5) - 8 = 0
24x^(-0,5) = 8
x^(-0,5) = 8/24
x^(-0,5) = 1/3
Возводим обе части уравнения в квадрат:
x^(-1) = (1/3)^2
x^(-1) = 1/9
x = 9
Таким образом, оптимальное количество переменного фактора равно 9.
Для нахождения объема производства подставляем найденное значение переменного фактора в производственную функцию:
Q = 4 * 9^0,5
Q = 4 * 3
Q = 12
Таким образом, объем производства при оптимальном количестве переменного фактора равен 12.
Для нахождения величины предельной прибыли подставляем найденное значение переменного фактора в производную прибыли по переменному фактору:
МП = 24 * 9^(-0,5) - 8
МП = 24 * 1/3 - 8
МП = 8 - 8
МП = 0
Таким образом, величина предельной прибыли равна 0.